Exercice 17, § 9

Soient X un espace topologique, A une partie de X. On dit qu’un point $a \in X$ est point de condensation de A si dans tout voisinage de $a$, il existe une infinité non dénombrable de points de A.

a) L’ensemble des points de condensation d’une partie A de X est fermé. Donner un exemple où X n’a qu’un point de condensation (cf. I, p. 67, th. 4).

b) Supposons que X soit un espace accessible dans lequel tout sous-espace ouvert soit un espace de Lindelöf (exerc. 16). Montrer que pour toute partie A de X, l’ensemble B des points de condensation de A est parfait, et l’ensemble $A \cap \complement B$ dénombrable.