Bài tập 17, § 9

Cho $X$ là một không gian tôpô, $A$ là một tập con của $X$. Một điểm $a \in X$ được gọi là một điểm ngưng tụ của A nếu trong mọi lân cận của $a$, tồn tại một vô hạn không đếm được các điểm của A.

a) Tập hợp các điểm ngưng tụ của một tập con A của X là đóng. Hãy cho một ví dụ trong đó X chỉ có một điểm ngưng tụ (xem I, p. 67, th. 4).

b) Giả sử rằng X là một không gian khả tiếp cận trong đó mọi không gian con mở đều là một không gian Lindelöf (bài tập 16). Bây giờ chứng minh rằng với mọi tập con A của X, tập hợp B các điểm ngưng tụ của A là hoàn hảo, và tập $A \cap \complement B$ là đếm được.