Exercice 19, § 9

On dit qu’un espace séparé X est absolument fermé s’il possède la propriété suivante : pour tout homéomorphisme $f$ de X sur un sous-espace d’un espace séparé $X'$, $f(X)$ est fermé dans $X'$. Tout espace compact est absolument fermé.

a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(AF) L’espace X est absolument fermé.

(AF') Toute base de filtre sur X formée d’ensembles ouverts a au moins un point adhérent.

(AF'') Toute famille d’ensembles fermés dans X, dont l’intersection est vide, contient une sous-famille dont l’intersection des intérieurs est vide.

(AF''') Tout recouvrement ouvert de X contient une sous-famille finie dont les adhérences forment un recouvrement de X.

b) Soient X un espace séparé, U un ensemble ouvert partout dense dans X. On suppose que toute base de filtre sur U formée d’ensembles ouverts a au moins un point adhérent dans X. Montrer que X est alors absolument fermé. En particulier, si A est une partie ouverte d’un espace absolument fermé X, le sous-espace $\overline{A}$ de X est absolument fermé.

c) Soient X un espace absolument fermé, $f$ une application continue de X dans un espace séparé $X'$. Montrer que $f(X)$ est un sous-espace absolument fermé de $X'$.

d) Montrer que le produit de deux espaces absolument fermés est absolument fermé (raisonner comme dans la prop. 17 de I, p. 70).