Bài tập 19, § 9

Người ta nói rằng một không gian tách được X là tuyệt đối đóng nếu nó có tính chất sau: đối với mọi đồng phôi $f$ của X lên một không gian con của một không gian tách được $X'$, $f(X)$ là đóng trong $X'$. Mọi không gian compact đều là tuyệt đối đóng.

a) Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(AF) Không gian X là tuyệt đối đóng.

(AF') Mọi cơ sở lọc trên X tạo bởi các tập mở đều có ít nhất một điểm dính.

(AF'') Mọi họ các tập đóng trong X, có giao là rỗng, đều chứa một họ con mà giao của các phần trong của chúng là rỗng.

(AF''') Mọi phủ mở của X đều chứa một họ hữu hạn mà các bao đóng của chúng tạo thành một phủ của X.

b) Cho X là một không gian tách được, U là một tập mở trù mật khắp nơi trong X. Giả sử rằng mọi cơ sở lọc trên U tạo bởi các tập mở đều có ít nhất một điểm dính trong X. Bây giờ chứng minh rằng khi đó X là tuyệt đối đóng. Đặc biệt, nếu A là một tập con mở của một không gian tuyệt đối đóng X, thì không gian con $\overline{A}$ của X là tuyệt đối đóng.

c) Cho X là một không gian tuyệt đối đóng, $f$ là một ánh xạ liên tục của X vào một không gian tách được $X'$. Bây giờ chứng minh rằng $f(X)$ là một không gian con tuyệt đối đóng của $X'$.

d) Bây giờ chứng minh rằng tích của hai không gian tuyệt đối đóng là tuyệt đối đóng (lý luận như trong mệnh đề 17 của I, p. 70).