Exercice 20, § 9

On dit qu’un espace séparé X est minimal si sa topologie $\mathscr{T}$ est telle que toute topologie sur X, séparée et moins fine que $\mathscr{T}$, est nécessairement identique à $\mathscr{T}$; alors $\mathscr{T}$ est nécessairement semi-régulière (I, p. 103, exerc. 20). Montrer que pour qu’un espace séparé X soit minimal, il faut et il suffit que toute base de filtre sur X formée d’ensembles ouverts, et ayant un seul point adhérent, soit convergente ; X est alors absolument fermé (exerc. 19). (Si $\mathfrak{B}$ est une base de filtre sur X formée d’ensembles ouverts et n’ayant aucun point adhérent, considérer, pour un point $a \in X$, la base de filtre $\mathfrak{B}'$ formée des réunions $V \cup A$, où A parcourt $\mathfrak{B}$ et V l’ensemble des voisinages ouverts de $a$; en déduire une contradiction.)