Bài tập 20, § 9

Người ta nói rằng một không gian tách X là cực tiểu nếu tôpô của nó $\mathfrak{T}$ có tính chất là mọi tôpô trên X, tách và thô hơn $\mathfrak{T}$, tất yếu trùng với $\mathfrak{T}$; khi đó $\mathfrak{T}$ tất yếu là nửa chính quy (I, p. 103, exer. 20). Chứng minh rằng để một không gian tách X là cực tiểu, điều kiện cần và đủ là mọi cơ sở lọc trên X tạo bởi các tập hợp mở và có một điểm dính duy nhất đều hội tụ; khi đó X là đóng tuyệt đối (exer. 19). (Nếu $\mathfrak{B}$ là một cơ sở lọc trên X tạo bởi các tập hợp mở và không có điểm dính nào, xét, với một điểm $a \in X$, cơ sở lọc $\mathfrak{B}'$ tạo bởi các hợp $V \cup A$, trong đó A chạy trên $\mathfrak{B}$ và V là tập hợp các lân cận mở của $a$; suy ra một mâu thuẫn.)