Exercice 21, § 9

On dit qu’un espace topologique X est complètement séparé (et que sa topologie est complètement séparée) si, pour tout couple de points distincts $x, y$ de X, il existe un voisinage fermé de $x$ et un voisinage fermé de $y$ sans point commun.

a) Tout espace régulier est complètement séparé. Tout sous-espace d’un espace complètement séparé est complètement séparé. Tout produit d’espaces complètement séparés est complètement séparé. Toute topologie plus fine qu’une topologie complètement séparée est une topologie complètement séparée.

b) Tout espace complètement séparé minimal X (exerc. 20) est compact. (Raisonner par l’absurde, en considérant un ultrafiltre $\mathfrak{U}$ sur X et la base de filtre formée des ensembles ouverts appartenant à $\mathfrak{U}$.)

c) Soit $\theta$ un nombre irrationnel > 0. Pour tout point $(x, y) \in \mathbf{Q} \times \mathbf{Q}^+$, et tout $\alpha > 0$, soit $B_\alpha(x, y)$ l’ensemble formé de $(x, y)$ et des points $(z, 0)$ de $\mathbf{Q}^2$ tels que $|z - (x + \theta y)| < \alpha$ ou $|z - (x - \theta y)| < \alpha$. Soit $\mathfrak{V}(x, y)$ l’ensemble des $B_\alpha(x, y)$ où $\alpha$ parcourt l’ensemble des nombres réels > 0. Montrer qu’il existe une topologie séparée $\mathscr{T}$ sur $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}^+$ telle que, pour tout $(x, y)$, $\mathfrak{V}(x, y)$ soit un système fondamental de voisinages de $(x, y)$ pour $\mathscr{T}$. Montrer que quels que soient les points $a, b$ de $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}^+$, tout voisinage fermé de $a$ rencontre tout voisinage fermé de $b$ pour la topologie $\mathscr{T}$. Montrer qu’il existe dans l’espace séparé minimal X ainsi défini des sous-espaces fermés qui ne sont pas minimaux.