Bài tập 21, § 9

Một không gian tôpô X được gọi là tách biệt hoàn toàn (và tôpô của nó được gọi là tách biệt hoàn toàn) nếu, với mỗi cặp điểm phân biệt $x, y$ của X, tồn tại một lân cận đóng của $x$ và một lân cận đóng của $y$ không có điểm chung nào.

a) Mọi không gian chính quy đều tách biệt hoàn toàn. Mọi không gian con của một không gian tách biệt hoàn toàn đều tách biệt hoàn toàn. Mọi tích của các không gian tách biệt hoàn toàn đều tách biệt hoàn toàn. Mọi tôpô mịn hơn một tôpô tách biệt hoàn toàn đều là một tôpô tách biệt hoàn toàn.

b) Mọi không gian cực tiểu tách biệt hoàn toàn X (bài tập 20) đều compact. (Lập luận bằng phản chứng, bằng cách xét một siêu lọc $\mathfrak{U}$ trên X và cơ sở lọc tạo bởi các tập mở thuộc $\mathfrak{U}$.)

c) Cho $\theta$ là một số vô tỉ > 0. Với mọi điểm $(x, y) \in \mathbf{Q} \times \mathbf{Q}^+$, và mọi $\alpha > 0$, gọi $B_\alpha(x, y)$ là tập hợp tạo bởi $(x, y)$ và các điểm $(z, 0)$ của $\mathbf{Q}^2$ sao cho $|z - (x + \theta y)| < \alpha$ hoặc $|z - (x - \theta y)| < \alpha$. Gọi $\mathfrak{V}(x, y)$ là tập hợp các $B_\alpha(x, y)$ khi $\alpha$ chạy qua tập hợp các số thực > 0. Chứng minh rằng tồn tại một tôpô tách biệt $\mathfrak{T}$ trên $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}^+$ sao cho, với mọi $(x, y)$, $\mathfrak{V}(x, y)$ là một hệ cơ sở của các lân cận của $(x, y)$ đối với $\mathfrak{T}$. Chứng minh rằng dù các điểm $a, b$ của $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}^+$ là gì, mọi lân cận đóng của $a$ đều giao với mọi lân cận đóng của $b$ đối với tôpô $\mathfrak{T}$. Chứng minh rằng trong không gian tách biệt cực tiểu X được xác định như vậy tồn tại các không gian con đóng không cực tiểu.