Exercice 23, § 9

a) Soient X un espace séparé, A un sous-ensemble partout dense de X. On suppose que tout filtre sur A admette au moins un point adhérent dans X. Montrer que X est absolument fermé (vérifier l’axiome (AF’) de l’exerc. 19 de I, p. 108). b) Soit $X_0$ un espace compact dans lequel il existe un ensemble A partout dense et non ouvert pour la topologie $\mathscr{T}_0$ de $X_0$. Soit $\mathscr{T}$ la topologie sur $X_0$ engendrée par les parties ouvertes pour $\mathscr{T}_0$ et par A, de sorte que $\mathscr{T}^* = \mathscr{T}_0$ (I, p. 103, exerc. 20). Si X est l’espace absolument fermé non compact obtenu en munissant $X_0$ de $\mathscr{T}$ (exerc. 22), montrer que tout filtre sur A admet un point adhérent dans X.