Bài tập 23, § 9

(a) Cho X là một không gian tách, A là một tập con trù mật của X. Giả sử rằng mọi lọc trên A đều thừa nhận ít nhất một điểm bám dính trong X. Bây giờ chứng minh rằng X là đóng tuyệt đối (kiểm tra tiên đề (AF’) của Bài tập 19 của I, p. 108). (b) Cho $X_0$ là một không gian compact trong đó tồn tại một tập hợp trù mật và không mở A đối với tôpô $\mathfrak{T}_0$ của $X_0$. Cho $\mathfrak{T}$ là tôpô trên $X_0$ sinh bởi các phần mở đối với $\mathfrak{T}_0$ và bởi A, sao cho $\mathfrak{T}^* = \mathfrak{T}_0$ (I, p. 103, Bài tập 20). Nếu X là không gian đóng tuyệt đối không compact thu được bằng cách trang bị cho $X_0$ tôpô $\mathfrak{T}$ (Bài tập 22), bây giờ chứng minh rằng mọi lọc trên A đều thừa nhận một điểm bám dính trong X.