Exercice 25, § 9

a) Soit X un espace séparé, et soit $\Gamma$ l’ensemble des filtres sur X admettant une base formée d’ensembles ouverts, et n’ayant aucun point adhérent dans X. Montrer que l’ensemble $\Gamma$ est inductif s’il n’est pas vide (autrement dit, si X n’est pas absolument fermé). b) Soit $\Omega$ l’ensemble des filtres maximaux dans $\Gamma$, et soit $X'$ l’ensemble somme de X et de $\Omega$. Pour tout $x \in X$, on désigne par $\mathfrak{B}(x)$ l’ensemble des voisinages de $x$ dans X; pour tout ω ∈ Ω, on désigne par $\mathfrak{B}(\omega)$ l’ensemble des parties de la forme $\{\omega\} \cup M$, où M parcourt le filtre ω. Il y a une topologie sur $X'$ pour laquelle $\mathfrak{B}(x')$ est un système fondamental de voisinages de $x'$ pour tout $x' \in X'$. Pour cette topologie, $X'$ est un espace absolument fermé, et possède la propriété universelle suivante : pour toute application continue ouverte $f : X \to Y$ dans un espace absolument fermé Y, il existe une application continue $g : X' \to Y$ et une seule qui prolonge $f$ (considérer les images par $f$ des filtres appartenant à $\Omega$; observer que dans un espace absolument fermé, un filtre maximal dans l’ensemble des filtres ayant une base d’ensembles ouverts est nécessairement convergent). En particulier, la topologie de $X'$ est X-maximale (I, p. 94, exerc. 11). En déduire qu’il existe des espaces absolument fermés dont la topologie est quasi-maximale (I, p. 91, exerc. 6).