Bài tập 25, § 9

(a) Cho X là một không gian tách được, và cho $\Gamma$ là tập hợp các lọc trên X thừa nhận một cơ sở được tạo thành bởi các tập mở, và không có điểm dính trong X. Bây giờ chứng minh rằng tập hợp $\Gamma$ là quy nạp nếu nó không rỗng (nói cách khác, nếu X không đóng tuyệt đối). (b) Cho $\Omega$ là tập hợp các lọc cực đại trong $\Gamma$, và cho $X'$ là tập hợp tổng của X và $\Omega$. Với mọi $x \in X$, ký hiệu $\mathfrak{B}(x)$ là tập hợp các lân cận của $x$ trong X; với mọi ω ∈ Ω, ký hiệu $\mathfrak{B}(\omega)$ là tập hợp các phần có dạng $\{\omega\} \cup M$, trong đó M chạy qua lọc ω. Có một tôpô trên $X'$ sao cho $\mathfrak{B}(x')$ là một hệ cơ sở các lân cận của $x'$ với mọi $x' \in X'$. Đối với tôpô này, $X'$ là một không gian đóng tuyệt đối, và có tính chất phổ quát sau: đối với mọi ánh xạ mở liên tục $f : X \to Y$ vào một không gian đóng tuyệt đối Y, tồn tại duy nhất một ánh xạ liên tục $g : X' \to Y$ mở rộng $f$ (xét các ảnh qua $f$ của các lọc thuộc $\Omega$; chú ý rằng trong một không gian đóng tuyệt đối, một lọc cực đại trong tập hợp các lọc có cơ sở gồm các tập mở thì tất yếu hội tụ). Đặc biệt, tôpô của $X'$ là X-cực đại (I, p. 94, exerc. 11). Suy ra rằng tồn tại các không gian đóng tuyệt đối mà tôpô của chúng là gần cực đại (I, p. 91, exerc. 6).