Exercice 29, § 9

a) Soit K l’espace discret $\{0, 1\}$. Pour tout espace compact X, soit F l’ensemble des applications $f$ de K dans l’ensemble $\mathfrak{F}(X)$ des parties fermées de X, telles que $X = f(0) \cup f(1)$. On considère l’espace compact $Y = K^F$; montrer que pour tout $y = (y_f)_{f \in F}$ dans Y, l’intersection des ensembles fermés $f(y_f)$ de X est vide ou réduite à un point. L’ensemble Z des $y \in Y$ tels que cette intersection ne soit pas vide est une partie fermée de Y; si $\varphi(y)$ est l’unique point commun aux $f(y_f)$ pour $y \in Z$, montrer que $\varphi$ est une application continue surjective de Z dans X.

b) Donner un exemple d’espace compact X tel qu’il n’existe aucune application continue surjective d’un espace compact de la forme $K^A$ sur X (utiliser l’exerc 4 b) de I, p. 95 et l’exerc. 27 de I, p. 110).