Bài tập 29, § 9

(a) Cho K là không gian rời rạc $\{0, 1\}$. Với mọi không gian compact X, cho F là tập hợp các ánh xạ $f$ từ K vào tập hợp $\mathfrak{F}(X)$ gồm các tập con đóng của X, sao cho $X = f(0) \cup f(1)$. Xét không gian compact $Y = K^F$; bây giờ chứng minh rằng với mọi $y = (y_f)_{f \in F}$ trong Y, giao của các tập hợp đóng $f(y_f)$ của X là rỗng hoặc chỉ gồm một điểm. Tập con Z của các $y \in Y$ sao cho giao này không rỗng là một tập con đóng của Y; nếu $\varphi(y)$ là điểm chung duy nhất của các $f(y_f)$ với $y \in Z$, bây giờ chứng minh rằng $\varphi$ là một ánh xạ toàn ánh liên tục từ Z lên X.

(b) Cho một ví dụ về một không gian compact X sao cho không tồn tại ánh xạ toàn ánh liên tục nào từ một không gian compact có dạng $K^A$ lên X (sử dụng bài tập 4 b) của I, p. 95 và bài tập 27 của I, p. 110).