Exercice 1, § 1

Soient X un ensemble infini, $\mathfrak{F}$ un ultrafiltre sur X tel que l’intersection des ensembles de $\mathfrak{F}$ soit vide. Pour tout ensemble $A \in \mathfrak{F}$, soit $V_A$ la partie $\Delta \cup (A \times A)$ de $X \times X$. Montrer que lorsque A parcourt $\mathfrak{F}$, les $V_A$ forment un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme $\mathfrak{U}(\mathfrak{F})$ sur X, et que la topologie déduite de $\mathfrak{U}(\mathfrak{F})$ est la topologie discrète.