Exercice 5, § 1

a) Soient X un espace uniforme, $\mathfrak{U}$ sa structure uniforme: pour tout entourage V de X, soit $\tilde{V}$ la partie de $\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)$ formée des couples (M, N) de parties de X telles qu’on ait à la fois $M \subset V(N)$ et $N \subset V(M)$. Montrer que les ensembles $\tilde{V}$ constituent un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme $\tilde{\mathfrak{U}}$ sur $\mathfrak{P}(X)$.

b) Sur l’ensemble $\mathfrak{P}_0(X)$ des parties non vides de X, montrer que la topologie induite par la topologie $\mathscr{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ déduite de $\tilde{\mathfrak{U}}$ est plus fine que la topologie $\mathscr{T}_\varnothing$ (I, p. 91, exerc. 7).

c) Si X a au moins deux points et si $\mathfrak{U}$ est séparée, montrer que, sur $\mathfrak{P}_0(X)$, la topologie induite par la topologie $\mathscr{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ n’est jamais moins fine que $\mathscr{T}_\Omega$. Pour que la topologie induite sur l’ensemble $\mathfrak{F}(X)$ des parties fermées non vides de X par $\mathscr{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ soit plus fine que la topologie induite par $\mathscr{T}_\Omega$, il faut et il suffit que pour toute partie fermée A de X, l’ensemble des V(A), où V parcourt l’ensemble des entourages de X, soit un système fondamental de voisinages de A.

*d) Montrer que sur l’ensemble quotient X/R défini dans le chap. I, p. 116, exerc. 18, la topologie quotient et les topologies induites par $\mathscr{T}_\Omega$, $\mathscr{T}_\varphi$ et $\mathscr{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ (où $\mathfrak{U}$ est la structure uniforme usuelle de $\mathbf{R}^2$) sont toutes distinctes.