Bài tập 5, § 1

a) Cho $X$ là một không gian đều, $\mathfrak{U}$ là hệ đều của nó; với mỗi lân cận đều $V$ của $X$, gọi $\tilde{V}$ là tập con của $\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)$ gồm tất cả các cặp $(M, N)$ của các tập con của $X$ sao cho cả hai $M \subset V(N)$ và $N \subset V(M)$. Chứng minh rằng các tập $\tilde{V}$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận đều của một hệ đều $\tilde{\mathfrak{U}}$ trên $\mathfrak{P}(X)$.

b) Trên tập $\mathfrak{P}_0(X)$ gồm các tập con không rỗng của $X$, chứng minh rằng tôpô cảm sinh bởi tôpô $\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ cảm sinh bởi $\tilde{\mathfrak{U}}$ là mịn hơn tôpô $\mathfrak{T}_\Phi$ (Chương I, § 2, Bài tập 7).

c) Nếu $X$ có ít nhất hai điểm và nếu $\mathfrak{U}$ là Hausdorff, chứng minh rằng tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ trên $\mathfrak{P}_0(X)$ không bao giờ thô hơn tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$. Tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ trên tập $\mathfrak{F}(X)$ gồm các tập con đóng không rỗng của $X$ là mịn hơn tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_\Omega$ trên tập này khi và chỉ khi, với mỗi tập con đóng $A$ của $X$, các tập $V(A)$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $A$ khi $V$ chạy qua tập các lân cận đều của $X$.

d) Chứng minh rằng trên tập thương $X/R$ được xác định trong Chương I, § 11, Bài tập 18, tôpô thương, và các tôpô được xác định bởi $\mathfrak{T}_\Omega, \mathfrak{T}_\Phi$ và $\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ (trong đó $\mathfrak{U}$ là hệ đều thông thường trên $\mathbf{R}^2$) đều là bốn tôpô phân biệt.