Exercice 5, § 2

Soient $(X_t)_{t \in I}$ une famille d’espaces uniformes, $c$ un cardinal infini. Pour toute famille $(V_t)_{t \in H}$, où $\mathrm{Card}(H) < c$ et $V_t$ est un entourage de $X_t$ pour chaque $t \in H$, soit $U((V_t))$ l’ensemble des couples $(x, y)$ de points de $X = \prod_{t \in I} X_t$ tels que $(\mathrm{pr}_t x, \mathrm{pr}_t y) \in V_t$ pour tout $t \in H$. Montrer que les ensembles $U((V_t))$ forment un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme sur $X$; la topologie déduite de cette structure uniforme est la topologie définie dans l’exerc. 9 de I, p. 95.