Exercice 6, § 3

Soient X un espace uniforme, $i : X \to \hat{X}$ l’application canonique de X dans son séparé complété. Soit $X_0$ l’ensemble somme de X et de $\hat{X} - i(X)$, et soit $j : X_0 \to \hat{X}$ l’application qui coïncide avec i dans X, avec l’identité dans $\hat{X} - i(X)$. Montrer que pour la structure uniforme image réciproque par j de la structure uniforme de $\hat{X}$, $X_0$ est complet. En outre, pour tout espace uniforme complet Y tel que X soit un sous-espace uniforme de Y, l’application identique $X \to X$ se prolonge d’une seule manière en une application continue $X_0 \to Y$.