Exercice 24, § 4

Soient $X$ un espace localement compact et localement connexe, $Y$ un espace séparé, $f : X \to Y$ une application continue. Soit $x$ un point de $X$ tel que le sous-espace $f^{-1}(f(x))$ de $X$ soit totalement discontinu. Montrer que lorsque $U$ parcourt un système fondamental de voisinages de $f(x)$ dans $Y$, les composantes connexes de $x$ dans les ensembles $f^{-1}(U)$ forment un système fondamental de voisinages de $x$. (Raisonner par l’absurde, en utilisant l’exerc. 14 de II, p. 38).