Exercice 4, § 4

Soit $X$ l’espace localement compact défini dans I, p. 106, exerc. 12. Montrer que, dans $X \times X$, tout voisinage de la diagonale $\Delta$ contient un ensemble de la forme $\{ x, b \} \times \{ x, b \}$. En déduire que, sur $X$, il n’y a qu’une seule structure uniforme compatible avec la topologie de $X$, et que le complété de $X$ pour cette structure peut être identifié à l’intervalle $X' = \{ a, b \}$ muni de la topologie $\mathscr{T}_-(X')$. (Observer que tout ultrafiltre sur $X$ est nécessairement un filtre de Cauchy pour toute structure uniforme compatible avec la topologie de $X$.)