Exercice 5, § 4

Pour qu’un espace uniforme $X$ soit précompact, il faut et il suffit que tout ultrafiltre sur $X$ soit un filtre de Cauchy. (Pour montrer que la condition est suffisante, remarquer que si $X$ n’est pas précompact, il existe un entourage $V$ de $X$ tel que les ensembles $\mathfrak{G}V(x)$, où $x$ parcourt $X$, engendrent un filtre sur $X$.)