Exercice 8, § 1

Soient $G$ un groupe topologique séparé, $s \neq e$ un point de $G$. Montrer qu’il existe un voisinage symétrique $V$ de $e$ pour lequel $s \notin V^2$ et il existe un recouvrement de $G$ formé d’au plus 17 ensembles de la forme $a_k V b_k$ ($1 \leqslant k \leqslant 17$). (Considérer dans l’ensemble des voisinages symétriques $V$ de $e$ tels que $s \notin V^2$ un élément maximal. On est amené ainsi à considérer l’ensemble $S$ des $x \in G$ tels que $x^2 = s$; observer que si $x, y$ sont deux éléments de $S$ tels que $xy^{-1} \in S$, on a nécessairement $s^2 = e$, et si $z$ est un troisième élément de $S$ tel que $xz^{-1} \in S$ et $yz^{-1} \in S$, $z$ est nécessairement permutable à $xy^{-1}$, et $xy^{-1}z^{-1} \notin S$. Lorsque $G$ est commutatif, on peut dans l’énoncé précédent remplacer le nombre 17 par 5.