Bài tập 8, § 1

Cho $G$ là một nhóm tôpô Hausdorff, và cho $s \neq e$ là một điểm của $G$. Chứng minh rằng có một lân cận đối xứng $V$ của $e$ sao cho $s \notin V^2$, và rằng $G$ có thể được phủ bởi nhiều nhất 17 tập hợp có dạng $a_k V b_k$ ($1 \leq k \leq 17$). (Xét một phần tử cực đại trong tập hợp các lân cận đối xứng $V$ của $e$ sao cho $s \notin V^2$. Do đó ta được dẫn đến việc xét tập hợp $S$ gồm các $x \in G$ sao cho $x^2 = s$; chú ý rằng nếu $x, y$ là hai phần tử của $S$ sao cho $xy^{-1} \in S$, thì ta phải có $x^2 = e$, và nếu $z$ là một phần tử thứ ba của $S$ sao cho $xz^{-1} \in S$ và $yz^{-1} \in S$, thì $z$ phải giao hoán với $xy^{-1}$, và $xy^{-1}z^{-1} \notin S$.) Nếu $G$ là giao hoán, số 17 có thể được thay thế bởi 5.