Exercice 23, § 2

Sur l’ensemble produit G d’une famille $(G_t)_{t \in I}$ de groupes topologiques, on considère la structure de groupe produit de celles des $G_t$, et la topologie engendrée par l’ensemble des produits $\prod_{t \in I} A_t$, où $A_t$ est ouvert dans $G_t$ pour tout $t \in I$ et où l’ensemble des $t \in I$ tels que $A_t \neq G_t$ a un cardinal $< c$, c étant un cardinal infini donné (I, p. 95, exerc. 9). Montrer que cette topologie est compatible avec la structure de groupe de G. En déduire un exemple de groupe topologique séparé non discret dans lequel toute partie compacte est finie (cf. I, p. 105, exerc. 4).