Exercice 27, § 2

On dit qu’un groupe G vérifie la propriété P(n) ($n$ entier > 0) si, pour tout système $(s_1, \ldots, s_n)$ de $n$ éléments de G, il existe une permutation $\sigma \in S_n$ distincte de l’identité (mais dépendant de $s_1, \ldots, s_n$) pour laquelle on a $s_{\sigma(1)} \cdots s_{\sigma(n)} = s_1 \cdots s_n$.

a) Montrer que le groupe non commutatif $S_3$ vérifie P(4).

b) Soit G un groupe topologique séparé et connexe. Montrer que si G vérifie P(n) pour un $n > 1$, G est commutatif. (Prouver que G vérifie P(n − 1). Pour cela, étant donnés $n - 1$ éléments $s_1, \ldots, s_{n-1}$ de G, se ramener au cas où il existe un voisinage U de e tel que, pour tout $x \in U$, on ait pour un indice $i = i(x)$, $s_1 \cdots s_{n-1} x = s_1 \cdots s_i x s_{i+1} \cdots s_{n-1}$; en déduire que le centralisateur dans G de l’un des éléments $s_{j+1} \cdots s_{n-1}$ ($0 \leq j \leq n - 2$) est à la fois ouvert et fermé, donc égal à G. En conclure le résultat si $j \geq 1$; si $j = 0$, montrer que l’on a $s_1 s_2 \cdots s_{n-1} = s_2 \cdots s_{n-1} s_1$.)