Bài tập 27, § 2

Một nhóm $G$ được gọi là có tính chất $P(n)$ (n là một số nguyên > 0) nếu, với mỗi hệ $(s_1, \ldots, s_n)$ gồm $n$ phần tử của $G$, tồn tại một phép hoán vị $\sigma \in S_n$, khác với phép hoán vị đồng nhất (nhưng phụ thuộc vào $s_1, \ldots, s_n$), sao cho $s_{\sigma(1)} \cdots s_{\sigma(n)} = s_1 \cdots s_n$.

a) Chứng minh rằng nhóm không giao hoán $S_3$ thỏa mãn $P(4)$.

b) Cho $G$ là một nhóm tôpô Hausdorff liên thông. Chứng minh rằng nếu $G$ thỏa mãn $P(n)$ với một số nguyên $n > 1$, thì $G$ là giao hoán. [Chứng minh rằng $G$ thỏa mãn $P(n - 1)$: cho $n - 1$ phần tử $s_1, \ldots, s_{n-1}$ của $G$, rút gọn về trường hợp tồn tại một lân cận $U$ của $e$ sao cho, với mỗi $x \in U$, ta có $s_1 \cdots s_{n-1} x = s_1 \cdots s_i x s_{i+1} \cdots s_{n-1}$ với một chỉ số nào đó $i = i(x)$; suy ra rằng tâm hóa tử trong $G$ của một trong các phần tử $s_{j+1} \cdots s_{n-1}$ ($0 \leq j \leq n - 2$) vừa mở vừa đóng và do đó bằng $G$. Từ đó có kết quả nếu $j \geq 1$; nếu $j = 0$, chứng minh rằng