Exercice 28, § 2

a) Soit S une partie stable d’un groupe topologique G; montrer que $\dot{S}$ et $\bar{S}$ sont stables et que $S \dot{S} \subset \dot{S}$ et $\dot{S} S \subset \dot{S}$. En outre, si S est ouvert et $e \in \bar{S}$, on a $S = \dot{\bar{S}}$ (si $x \in \bar{S} - S$, montrer que x est point frontière de S).

b) On suppose désormais que G est un groupe topologique commutatif, noté additivement. Pour toute partie non vide A de G, on désigne par $s(A)$ l’ensemble des $x \in G$ tels que $x + A \subset A$, ou encore l’intersection des $A + (-y)$ où y parcourt A; on pose

L’ensemble $s(A)$ est une partie stable de G et $b(A)$ est un sous-groupe de G formé des $x \in G$ tels que $x + A = A$. Montrer que pour toute partie non vide fermée $F$ de $G$, $s(F)$ est fermé. Pour toute partie non vide $A$ de $G$, on a $s(A) \subset s(\overline{A})$ et $s(A) \subset s(\overset{\circ}{A})$; si $A = \overset{\circ}{A}$, on a $s(A) = s(\overline{A})$.

c) Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des parties stables ouvertes $S$ de $G$ telles que $0 \notin S$; on suppose que $\mathscr{S} \neq \varnothing$. L’ensemble $\mathscr{S}$, ordonné par inclusion, est alors inductif; soit $\mathfrak{M} \neq \varnothing$ l’ensemble de ses éléments maximaux. Montrer que si $M \in \mathfrak{M}$, on a $M = \overset{\circ}{M}$ (utiliser $a$), et pour tout entier $n > 0$, $M$ est égal à l’ensemble des $x \in G$ tels que $nx \in M$. En outre, le sous-groupe $b(M)$ est égal au complémentaire dans $G$ de $M \cup (-M)$ (si $x \notin M$ et $-x \notin M$, considérer la réunion des ensembles $kx + M$ pour les entiers $k \geqslant 0$;) en déduire que $G = M + (-M)$.

On dit qu’un sous-groupe fermé $B$ de $G$ est résiduel s’il existe $M \in \mathfrak{M}$ tel que $B = b(M)$.

d) On appelle radical de $G$ et on note $T_G$ l’intersection de tous les sous-groupes résiduels de $G$; si $T_G = G$ (resp. $T_G = \{0\}$) on dit que $G$ est un groupe radical (resp. sans radical). Pour que $x \in T_G$, il faut et il suffit que toute partie stable ouverte de $G$ contenant $x$ contienne $0$. En déduire que si $G$ est discret, $T_G$ est le sous-groupe de torsion de $G$. Pour tout homomorphisme continu $f$ de $G$ dans un groupe topologique commutatif $G'$, on a $f(T_G) \subset T_{G'}$; si $H$ est un sous-groupe de $G$ contenu dans $T_G$, on a $T_{G/H} = T_G/H$. Le sous-groupe $T_G$ est le plus petit des sous-groupes $H$ de $G$ tels que $G/H$ soit sans radical.

e) Montrer que parmi les sous-groupes $H$ de $G$ tels que $T_H = H$, il en existe un plus grand $H_0 \subset T_G$, qui est fermé.

f) Si $T_G \neq G$, pour que $T_G$ soit ouvert, il faut et il suffit qu’il existe dans $G$ un sous-groupe résiduel ouvert (montrer que si $b(M)$ est ouvert pour un $M \in \mathfrak{M}$, on a nécessairement $T_G \supset b(M)$, en utilisant $e$).