Bài tập 28, § 2

a) Cho $S$ là một tập con ổn định của một nhóm tôpô $G$. Chứng minh rằng $\dot{S}$ và $\bar{S}$ là ổn định và rằng $S \dot{S} \subset \dot{S}$ và $S \bar{S} \subset \bar{S}$. Nếu ngoài ra $S$ là mở và $e \in \bar{S}$, thì $S = \dot{\bar{S}}$ (nếu $x \in \bar{S} - S$, hãy chứng minh rằng $x$ là một điểm biên của $S$).

b) Từ nay trong bài tập này, $G$ là một nhóm tôpô giao hoán, được viết theo phép cộng. Với mọi tập con khác rỗng $A$ của $G$, ký hiệu $s(A)$ là tập hợp tất cả các $x \in G$ sao cho $x + A \in A$, nghĩa là giao của các tập hợp $A - y$ khi $y$ chạy qua $A$; đặt $b(A) = s(A) \cap s(-A)$. Tập hợp $s(A)$ là một tập con ổn định của $G$, và $b(A)$ là một nhóm con của $G$ gồm tất cả các $x \in G$ sao cho $x + A = A$. Chứng minh rằng nếu $F$ là một tập con đóng khác rỗng bất kỳ của $G$, thì $s(F)$ là đóng. Với mọi tập con khác rỗng $A$ của $G$, ta có $s(A) \subset s(\overline{A})$ và $s(A) \subset s(\dot{A})$; và nếu $A = \dot{\overline{A}}$, thì $s(\dot{\overline{A}}) = s(\overline{A})$.

c) Cho $\mathscr{S}$ là tập hợp tất cả các tập con mở ổn định $S$ của $G$ sao cho $0 \notin S$, và giả sử rằng $\mathscr{S} \neq \emptyset$. Khi đó tập hợp $\mathscr{S}$, có thứ tự bởi phép bao hàm, là quy nạp; gọi $\mathfrak{M} \neq \emptyset$ là tập hợp các phần tử cực đại của nó. Chứng minh rằng nếu $M \in \mathfrak{M}$, thì $M = \overline{M}$ [dùng $a$] và rằng, với mỗi số nguyên $n > 0$, $M$ bằng tập hợp tất cả các $x \in G$ sao cho $nx \in M$. Ngoài ra, nhóm con $b(M)$ bằng phần bù của $M \cup (-M)$ trong $G$ (nếu $x \notin M$ và $-x \notin M$, xét hợp của các tập hợp $kx + M$ với các số nguyên $k \geq 0$); suy ra rằng $G = M - M$.

Một nhóm con đóng $B$ của $G$ được gọi là dư nếu tồn tại $M \in \mathfrak{M}$ sao cho $B = b(M)$.

$d$ Giao của tất cả các nhóm con dư của $G$ được gọi là căn của $G$ và được ký hiệu là $T_G$. Nếu $T_G = G$ (tương ứng $T_G = \{0\}$) thì $G$ được gọi là một nhóm căn (tương ứng một nhóm không có căn). Để $x$ thuộc $T_G$ thì điều kiện cần và đủ là mọi tập con mở ổn định của $G$ chứa $x$ cũng phải chứa $0$. Suy ra rằng nếu $G$ là rời rạc, thì $T_G$ là nhóm con xoắn của $G$. Nếu $f$ là một đồng cấu liên tục bất kỳ của $G$ vào một nhóm tôpô giao hoán $G'$, thì $f(T_G) \subset T_{G'}$. Nếu $H$ là một nhóm con của $G$ được chứa trong $T_G$, thì $T_{G/H} = T_G / H$. Nhóm con $T_G$ là nhỏ nhất trong các nhóm con $H$ của $G$ sao cho $G/H$ không có căn.

$e$ Chứng minh rằng, trong các nhóm con $H$ của $G$ sao cho $T_H = H$, có một nhóm lớn nhất, $H_0 \subset T_G$, đóng.

$f$ Nếu $T_G \neq G$, thì $T_G$ mở khi và chỉ khi có một nhóm con mở dư trong $G$ [chứng minh rằng nếu $b(M)$ mở đối với một $M \in \mathfrak{M}$ nào đó, thì $T_G \supset b(M)$, bằng cách sử dụng $e$].