Exercice 4, § 2

a) Dans un groupe semi-topologique G, l’intersection des voisinages à la fois ouverts et fermés de e est un sous-groupe fermé H invariant par tous les automorphismes de G (remarquer qu’il ne peut exister de partition de G en deux ensembles ouverts et fermés dont chacun rencontre H).

b) Dans l’ensemble $\mathfrak{G}$ des sous-groupes de G, on définit une application $\varphi$ qui, à tout sous-groupe H de G, fait correspondre le sous-groupe $\varphi(H)$ de H intersection des voisinages à la fois ouverts et fermés de e dans H. Dans l’ensemble $\mathfrak{G}$, ordonné par la relation $\supseteq$, on considère la chaîne $\Gamma$ de G pour l’application $\varphi$ (E, III, p. 75, exerc. 6); montrer que le plus petit des sous-groupes de $\Gamma$ est la composante connexe de e dans G (remarquer que ce plus petit sous-groupe est nécessairement connexe).