Exercice 5, § 2

On dit qu’un groupe semi-topologique G est quasi-topologique si pour tout $a \in G$, l’application $x \mapsto xax^{-1}$ de G dans G est continue. Tout groupe commutatif semi-topologique est quasi-topologique.

a) Montrer que dans un groupe quasi-topologique, le normalisateur d’un sous-groupe fermé est fermé.

b) Soit G un groupe quasi-topologique engendré par chacun des voisinages de e (resp. connexe). Montrer que tout sous-groupe distingué discret (resp. totalement discontinu) D de G est contenu dans le centre de G (si $a \in D$, montrer qu’il existe un voisinage V de e tel que $xax^{-1} = a$ pour tout $x \in V$).

c) Soit G le groupe des matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & x \end{pmatrix}$, où $x > 0$ et $y$ sont des nombres réels. Si on identifie G à une partie de $\mathbf{R}^2$ par l’application $(x, y) \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & x \end{pmatrix}$, la topologie $\mathscr{T}_0$ induite sur G par celle de $\mathbf{R}^2$ est compatible avec la structure de groupe. Soit H le sous-groupe distingué de G formé des matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & 1 \end{pmatrix}$, et soit H le complémentaire de l’élément neutre dans H. On définit une topologie $\mathscr{T}$ plus fine que $\mathscr{T}_0$ en prenant pour système fondamental de voisinages de e dans G les intersections des voisinages de e pour $\mathscr{T}_0$ avec le complémentaire de H* dans G. Pour cette topologie, montrer que G est un groupe semi-topologique connexe, non quasi-topologique, et dans lequel H est un sous-groupe discret non contenu dans le centre.*