Bài tập 5, § 2

Một nhóm nửa tôpô $G$ là giả tôpô nếu, với mỗi $a \in G$, ánh xạ $x \to xax^{-1}$ từ $G$ vào $G$ là liên tục. Mọi nhóm nửa tôpô giao hoán đều là giả tôpô.

a) Chứng minh rằng chuẩn hóa tử của một nhóm con đóng của một nhóm giả tôpô là đóng.

b) Cho $G$ là một nhóm giả tôpô được sinh bởi mỗi lân cận của $e$ (tương ứng, liên thông). Chứng minh rằng mọi nhóm con chuẩn tắc rời rạc (tương ứng, hoàn toàn không liên thông) $D$ của $G$ đều được chứa trong tâm của $G$ (nếu $a \in D$, chứng minh rằng có một lân cận $V$ của $e$ sao cho $xax^{-1} = a$ với mỗi $x \in V$).

c) Cho $G$ là nhóm các ma trận $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & x \end{pmatrix}$, trong đó $x$ và $y$ là các số thực và $x > 0$. Nếu ta đồng nhất $G$ với một tập con của $\mathbf{R}^2$ bằng ánh xạ $(x, y) \to \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & x \end{pmatrix}$, thì tôpô $\mathfrak{T}_0$ cảm sinh trên $G$ bởi tôpô của $\mathbf{R}^2$ là tương thích với cấu trúc nhóm của $G$. Cho $H$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$ gồm tất cả các ma trận $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & 1 \end{pmatrix}$, và cho $H^*$ là phần bù của phần tử đơn vị trong $H$. Định nghĩa một tôpô $\mathfrak{T}$, mịn hơn $\mathfrak{T}_0$, bằng cách lấy làm hệ cơ bản các lân cận của $e$ trong $G$ các giao của các lân cận của $e$ trong tôpô $\mathfrak{T}_0$ với phần bù của $H^*$ trong $G$. Với tôpô $\mathfrak{T}$ này, chứng minh rằng $G$ là một nhóm nửa tôpô liên thông không phải là giả tôpô và có $H$ là một nhóm con rời rạc không được chứa trong tâm. \