Exercice 7, § 2

a) Montrer que dans un groupe quasi-topologique (exerc. 5) G connexe le groupe des commutateurs est connexe. (Soit $P_k$ l’ensemble des produits de k commutateurs $x^{-1}y^{-1}xy$; montrer que $P_k$ est réunion d’ensembles connexes dont chacun rencontre $P_{k-1}$).

b) Soit G un groupe infini dont le groupe des commutateurs est fini (par exemple le produit d’un groupe fini non commutatif et d’un groupe commutatif infini). Si on munit G de la topologie définie dans l’exerc. 2 b) de III, p. 66, G est un groupe semi-topologique connexe dont le groupe des commutateurs est non connexe.