Bài tập 7, § 2

(a) Chứng minh rằng nếu $G$ là một nhóm gần tôpô liên thông (Bài tập 5) thì nhóm con giao hoán tử của $G$ là liên thông. (Gọi $P_k$ là tập hợp của tất cả các tích của $k$ giao hoán tử $x^{-1}y^{-1}xy$; chứng minh rằng $P_k$ là một hợp của các tập hợp liên thông mà mỗi tập hợp trong đó giao với $P_{k-1}$).

(b) Cho $G$ là một nhóm vô hạn không giao hoán mà nhóm con giao hoán tử là hữu hạn (chẳng hạn, tích của một nhóm hữu hạn không giao hoán và một nhóm giao hoán vô hạn). Nếu $G$ mang tôpô được xác định trong Bài tập 2 b) của § 1, chứng minh rằng $G$ là một nhóm nửa tôpô liên thông mà nhóm con giao hoán tử của nó không liên thông.