Exercice 8, § 2

Soit G un groupe quasi-topologique (exerc. 5). a) Étendre à G la prop. 9,(i) de III, p. 9 (montrer d’abord que $x\overline{K}x^{-1} \subset \overline{K}$ pour $x \in H$). Donner un exemple de groupe semi-topologique non quasi-topologique, dans lequel la prop. 9,(i) de III, p. 9 n’est pas valable (cf. III, p. 64, exerc. 2 b)). b) Soient H, K deux sous-groupes de G tels que $H \supset K$ et que K contienne le groupe des commutateurs de H. Montrer que $\overline{K}$ contient le groupe des commutateurs de $\overline{H}$ (méthode analogue). c) Déduire de b) que si dans G tout ensemble réduit à un point est fermé, l’adhérence dans G de tout sous-groupe résoluble (resp. commutatif) (A, I, p. 71) est résoluble (resp. commutatif) (raisonner sur la longueur de la suite des groupes dérivés du sous-groupe considéré).