Bài tập 8, § 2

Cho $G$ là một nhóm giả tôpô (Bài tập 5).

a) Mở rộng Mệnh đề 8 cho $G$ (trước hết hãy chứng minh rằng $xKx^{-1} \subset K$ nếu $x \in H$). Cho một ví dụ về nhóm nửa tôpô không là nhóm giả tôpô và trong đó Mệnh đề 8 không đúng [xem § 1, Bài tập 2 b)].

b) Cho $H, K$ là hai nhóm con của $G$ sao cho $H \triangleright K$ và $K$ chứa nhóm con giao hoán tử của $H$. Chứng minh rằng $K$ chứa nhóm con giao hoán tử của $\overline{H}$ (phương pháp tương tự).

c) Suy ra từ b) rằng nếu mọi tập con của $G$ gồm một điểm duy nhất đều đóng, thì bao đóng của mọi nhóm con giải được (tương ứng giao hoán) trong $G$ là giải được (tương ứng giao hoán) (lập luận về độ dài của chuỗi dẫn xuất của nhóm con đang xét).