Exercice 10, § 4

Soient $G$ un groupe topologique, $E, F$ deux espaces topologiques dans lesquels $G$ opère continûment; alors $G$ opère continûment dans $E \times F$ pour la loi $(s, (x, y)) \mapsto (s.x, s.y)$; on pose $E \times^G F = (E \times F)/G$. a) Montrer que $E \times^G G$ (où $G$ opère par translation à gauche dans lui-même) est canoniquement homéomorphe à $E$. (Remarquer que si $U$ est ouvert dans $E$, la réunion des orbites des points de $U \times \{e\}$ est ouverte dans $E \times G$). b) Soit $F'$ un troisième espace topologique dans lequel $G$ opère continûment, et soit $f : F \to F'$ une application continue compatible avec l’application identique de $G$. Par passage aux quotients, on déduit de $\mathrm{Id}_E \times f$ une application continue $\bar{f} : E \times^G F \to E \times^G F'$. Si $f$ est ouverte (resp. propre, injective, surjective), il en est de même de $\bar{f}$ (exerc. 9). Donner un exemple dans lequel $f$ est fermée, $G$ opère proprement dans $E$, mais $\bar{f}$ n’est pas fermée (prendre $F = G, F' = P$, espace réduit à un point, et utiliser l’exerc. 4 de III, p. 73). c) Montrer que si $G$ opère proprement dans $E$, $G$ opère proprement dans $E \times F$. d) Montrer que si $F$ est compact, l’application canonique $E \times^G F \to E/G$ est propre (utiliser $b$). e) On suppose que $G$ soit localement compact, et on désigne par $G'$ l’espace topologique compactifié d’Alexandroff de $G$; si $\omega$ est le point à l’infini de $G'$, $G$ opère continûment dans $G'$ par la loi externe telle que $s.t = st$ si $t \in G, s.\omega = \omega$; $E$ est alors homéomorphe à un sous-espace ouvert de $E \times^G G'$ (utiliser $b$). En déduire que si $G$ opère proprement dans $E$ et si en outre $E/G$ est localement compact, alors $E$ est localement compact (utiliser $c$) pour prouver que $E \times^G G'$ est séparé). f) Donner un exemple de groupe localement compact $G$ opérant continûment dans un espace $E$ non localement compact, de sorte que $E/G$ soit réduit à un point (cf. III, p. 72, exerc. 29).