Bài tập 10, § 4

Cho $G$ là một nhóm tôpô và cho $X, Y$ là hai không gian tôpô trên đó $G$ tác động liên tục. Khi đó $G$ tác động liên tục trên $X \times Y$ theo luật $(s, (x, y)) \to (s.x, s.y)$. Ký hiệu $(X \times Y)/G$ là $X \times ^G Y$.

a) Chứng minh rằng $X \times ^G G$ ($G$ tác động bằng các phép tịnh tiến trái trên chính nó) một cách chính tắc là đồng phôi với $X$. (Nhận xét rằng nếu $U$ là mở trong $X$, thì hợp của các quỹ đạo của các điểm của $U \times \{e\}$ là mở trong $X \times G$).

b) Cho $Y'$ là một không gian tôpô thứ ba trên đó $G$ tác động liên tục, và cho $f : Y \to Y'$ là một ánh xạ liên tục tương thích với ánh xạ đồng nhất của $G$. Ánh xạ $i_X \times f$ cảm sinh một ánh xạ liên tục $\overline{f} : X \times ^G Y \to X \times ^G Y'$. Nếu $f$ là mở (tương ứng, thực sự, đơn ánh, toàn ánh) thì $\overline{f}$ cũng vậy (Bài tập 9). Hãy cho một ví dụ trong đó $f$ là đóng, $G$ tác động thực sự trên $X$, nhưng $\overline{f}$ không đóng [lấy $X = G$, $X' = P$ (một không gian gồm một điểm duy nhất) và dùng Bài tập 4].

c) Chứng minh rằng nếu $G$ tác động thực sự trên $X$, thì $G$ tác động thực sự trên $X \times Y$.

d) Chứng minh rằng, nếu $Y$ compact, ánh xạ chính tắc $X \times ^G Y \to X/G$ là thực sự [dùng b)].

e) Giả sử rằng $G$ địa phương compact, và cho $G'$ là compact hóa một điểm của $G$. Nếu $\omega$ là điểm ở vô cực trong $G'$, thì $G$ tác động liên tục trên $G'$ theo phép toán ngoài cho bởi $s.t = st$ nếu $t \in G$, và $s.\omega = \omega$; $X$ khi đó đồng phôi với một không gian con mở của $X \times ^G G'$ (dùng b)). Suy ra rằng nếu $G$ tác động thực sự trên $X$ và ngoài ra $X/G$ địa phương compact, thì $X$ địa phương compact [dùng c) để chứng minh rằng $X \times ^G G'$ là Hausdorff].

f) Hãy cho một ví dụ về một nhóm địa phương compact $G$ tác động liên tục trên một không gian $X$ không địa phương compact, sao cho $X/G$ gồm một điểm duy nhất (xem § 2, Bài tập 29). \