Exercice 12, § 4

a) Soient E un espace compact, G un groupe topologique opérant continûment dans E. On suppose que toute orbite A suivant G possède un intérieur non vide par rapport à son adhérence Ā. Montrer qu’il existe au moins une orbite compacte (considérer un élément minimal dans l’ensemble des parties compactes de E stables par G).

b) Donner un exemple de groupe localement compact opérant continûment dans un espace compact et pour lequel aucune orbite n’est compacte (III, p. 72, exerc. 29).