Exercice 17, § 4

Soit G un groupe localement compact n’ayant pas de sous-groupes arbitrairement petits (III, p. 72, exerc. 30).

a) Montrer que tout point de G admet un système fondamental dénombrable de voisinages (exerc. 15 b)).

b) Il existe un voisinage compact V de e tel que pour deux points x, y de V, la relation x^2 = y^2 entraîne x = y. (On peut supposer G non commutatif. Raisonnant par l’absurde, il existerait deux suites $(x_n), (y_n)$ de points de $G$, tendant vers $e$, telles que $x_n^2 = y_n^2$ et $x_n y_n^{-1} = a_n \neq e$. Soit $U$ un voisinage compact de $e$ ne contenant aucun sous-groupe de $G$ distinct de $\{e\}$, et soit $p_n$ le plus petit entier $p > 0$ tel que $a_n^{p+1} \notin U$; montrer, en passant au besoin à une suite extraite, que l’on peut supposer que $a = \lim_{n \to \infty} a_n^{p_n}$ existe, est $\neq e$ et appartient à $U$. Montrer que $a^{-1} = a$ et obtenir ainsi une contradiction.) c) Soit $U$ un voisinage compact symétrique de $e$ ne contenant aucun sous-groupe distinct de $\{e\}$, et soit $V$ un voisinage de $e$. Montrer qu’il existe un nombre $c(V) > 0$ tel que pour tout couple d’entiers $p > 0, q > 0$ tels que $p \leq c(V)q$ et tout élément $x \in G$ tel que $x, x^2, \ldots, x^q$ appartiennent à $U$, on ait $x^p \in V$. (Raisonner par l’absurde, en supposant qu’il existe deux suites d’entiers $(p_n), (q_n)$ telles que $\lim_{n \to \infty} (p_n/q_n) = 0$ et pour chaque $n$ un élément $a_n \in G$ tel que les $a_n^h$ appartiennent à $U$ pour $1 \leq h \leq q_n$, mais $a_n^{p_n} \notin V$; on peut supposer en outre que la suite $(a_n^{p_n})$ a une limite $a \neq e$ appartenant à $U$. Montrer alors qu’on aurait $a^m \in U$ pour tout entier $m > 0$ et en déduire une contradiction).