Bài tập 17, § 4

Cho $G$ là một nhóm địa phương compact không có các nhóm con tùy ý nhỏ [$\S$ 2, Bài tập 30].

a) Chứng minh rằng mọi điểm của $G$ đều có một hệ lân cận cơ bản đếm được (Bài tập 15 b)).

b) Có một lân cận compact $V$ của $e$ sao cho với mọi hai điểm $x, y$ của $V$, quan hệ $x^2 = y^2$ kéo theo $x = y$. (Ta có thể giả sử $G$ không giao hoán. Nếu kết quả sai, sẽ tồn tại hai dãy $(x_n), (y_n)$ các điểm của $G$, hội tụ về $e$, sao cho $x_n^2 = y_n^2$ và $x_n y_n^{-1} = a_n \neq e$. Gọi $U$ là một lân cận compact của $e$ chứa không một nhóm con nào của $G$ khác ngoài $\{e\}$, và gọi $p_n$ là số nguyên nhỏ nhất $p > 0$ sao cho $a_n^{p+1} \notin U$: chứng minh (bằng cách chuyển qua một dãy con nếu cần thiết) rằng ta có thể giả sử $a = \lim_{n \to \infty} a_n^{p_n}$ tồn tại, không bằng $e$ và thuộc $U$. Chứng minh rằng $a^{-1} = a$ và do đó thu được một mâu thuẫn).

c) Gọi $U$ là một lân cận đối xứng compact của $e$ không chứa bất kỳ nhóm con nào của $G$ khác ngoài $\{e\}$, và gọi $V$ là một lân cận của $e$. Chứng minh rằng tồn tại một số $c(V) > 0$ sao cho, với mỗi cặp số nguyên $p > 0, q > 0$ thỏa mãn $p \leq c(V)q$, và mỗi phần tử $x \in G$ sao cho $x, x^2, \ldots, x^q$ thuộc $U$, ta có $x^p \in V$. [Lập luận bằng phản chứng, bằng cách giả sử rằng tồn tại hai dãy số nguyên $(p_n), (q_n)$ sao cho $\lim_{n \to \infty} (p_n/q_n) = 0$ và với mỗi $n$ một phần tử $a_n \in G$ sao cho $a_n^h \in U$ với $1 \leq h \leq q_n$, nhưng $a_n^{p_n} \notin V$; ta cũng có thể giả sử rằng dãy $(a_n^{p_n})$ có một giới hạn $a \neq e$ nằm trong $U$. Chứng minh rằng khi đó ta phải có $a^m \in U$ với mọi số nguyên $m > 0$ và do đó đi đến một mâu thuẫn].