Bourbaki

Exercice 20, § 4

Topologie générale, III, p. 77

It is set in small type as supplementary.

Soient φ\varphi l’homomorphisme canonique R→T\mathbf{R} \to \mathbf{T}, θ\theta un nombre irrationnel. Sur l’espace topologique G=R2×T2G = \mathbf{R}^2 \times \mathbf{T}^2 on définit une loi de groupe en posant

(x1,x2,t1,t2)(x1′,x2′,t1′,t2′)=(x1+x1′,x2+x2′,t1+t1′+φ(x2x1′),t2+t2′+φ(θx2x1′)).(x_1, x_2, t_1, t_2)(x'_1, x'_2, t'_1, t'_2) = (x_1 + x'_1, x_2 + x'_2, t_1 + t'_1 + \varphi(x_2 x'_1), t_2 + t'_2 + \varphi(\theta x_2 x'_1)).

On définit ainsi sur GG une structure de groupe localement compact (et même de groupe de Lie). Montrer que le groupe des commutateurs de GG n’est pas fermé.*

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.

Transcrit du volume imprimé. Non traduit.