Exercice 22, § 4

a) Montrer que dans un groupe topologique séparé $G$, toute partie stable $S$ qui est compacte, ou ouverte et relativement compacte, est un sous-groupe de $G$ (utiliser l’exerc. 21 ci-dessus, ainsi que l’exerc. 28 a) de III, p. 72). En déduire qu’un groupe commutatif compact est un groupe radical (III, p. 72, exerc. 28 d').

b) Déduire de a) que dans un groupe compact $K$, toute partie stable localement compacte est un sous-groupe de $K$.

c) Soient G un groupe topologique séparé, S une partie stable fermée de G, telle qu’il existe une partie précompacte K de G pour la structure uniforme droite, pour laquelle on a SK = G. Montrer que S est un sous-groupe de G. (Étant donné un élément s ∈ S, déterminer par récurrence une suite d’éléments x_i ∈ K et une suite d’éléments s_i ∈ S tels que s^{-1}x_i = s_{i+1}x_{i+1}; observer que, pour i < j, s^{-1}x_ix_j^{-1} ∈ S et que pour tout voisinage V de e dans G, il existe un couple d’éléments x_i, x_j tels que i < j et x_ix_j^{-1} ∈ V).