Bài tập 22, § 4

a) Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff. Chứng minh rằng mọi tập con ổn định S của G mà hoặc compact, hoặc mở và tương đối compact, là một nhóm con của G [sử dụng Bài tập 21 ở trên, và Bài tập 28 a) của § 2]. Suy ra rằng một nhóm giao hoán compact là một nhóm căn [§ 2, Bài tập 28 d)].

b) Suy ra từ a) rằng mọi tập con ổn định địa phương compact của một nhóm compact K là một nhóm con của K.

c) Cho G là một nhóm tôpô Hausdorff và cho S là một tập con đóng ổn định của G với tính chất rằng tồn tại một tập con K của G tiền compact đối với cấu trúc đều phải của G, và sao cho SK = G. Chứng minh rằng S là một nhóm con của G. (Cho $s \in S$, định nghĩa đệ quy một dãy các phần tử $x_i \in K$ và một dãy các phần tử $s_i \in S$ sao cho $s^{-1} x_i = s_{i+1} x_{i+1}$; nhận xét rằng nếu $i < j$ thì $s^{-1} x_i x_j^{-1} \in S$, và rằng với mọi lân cận V của e trong G tồn tại một cặp phần tử $x_i, x_j$ sao cho $i < j$ và $x_i x_j^{-1} \in V$).