Exercice 24, § 4

Soient G un groupe topologique, H un sous-groupe fermé de G, $\pi : G \to G/H$ l’application canonique. Pour tout voisinage ouvert symétrique V de e dans G, on note U_H(V) l’ensemble des couples $(\dot{x}, \dot{y})$ d’éléments de G/H tels qu’il existe $x \in \dot{x}$ et $y \in \dot{y}$ pour lesquels $x^{-1}y \in V$. Les ensembles U_H(V) sont invariants pour l’opération $(s, (\dot{x}, \dot{y})) \to (s.\dot{x}, s.\dot{y})$ de G dans $(G/H) \times (G/H)$.

a) Montrer que si H est compact, les ensembles U_H(V) forment un système fondamental d’entourages pour une structure uniforme sur G/H, compatible avec la topologie quotient (utiliser l’exerc. 14 a) de III, p. 76).

b) Soit G le groupe $\mathbf{GL}(2, \mathbf{R})$ muni de la topologie définie dans III, p. 73, exerc. 4, et soit H le sous-groupe fermé commutatif de G formé des matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ z & 1 \end{pmatrix}$, où z parcourt $\mathbf{R}$. Montrer que les ensembles UH(V) ne forment pas un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme sur G/H (remarquer qu’il y a des voisinages V_0 de e dans G tels que, pour aucun voisinage V de e dans G, on n’ait VHV ⊂ HV_0H.)*