Bài tập 24, § 4

Cho G là một nhóm tôpô, H là một nhóm con đóng của G, $\pi : G \to G/H$ là ánh xạ chính tắc. Với mọi lân cận mở đối xứng V của e trong G, ký hiệu U_H(V) là tập hợp các cặp $(\dot{x}, \dot{y})$ của các phần tử của G/H sao cho tồn tại $x \in \dot{x}$ và $y \in \dot{y}$ mà $x^{-1}y \in V$. Các tập hợp U_H(V) là bất biến đối với phép toán $(s, (\dot{x}, \dot{y})) \to (s.\dot{x}, s.\dot{y})$ của G trong $(G/H) \times (G/H)$.

a) Bây giờ chứng minh rằng nếu H compact, các tập hợp U_H(V) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của một cấu trúc đều trên G/H, tương thích với tôpô thương (dùng bài tập 14 a) của III, p. 76).

b) Cho G là nhóm $\mathbf{GL}(2, \mathbf{R})$ được trang bị tôpô được xác định trong III, p. 73, bài tập 4, và H là nhóm con giao hoán đóng của G tạo bởi các ma trận $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ z & 1 \end{pmatrix}$, trong đó z chạy qua $\mathbf{R}$. Bây giờ chứng minh rằng các tập hợp UH(V) không tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của một cấu trúc đều trên G/H (chú ý rằng có những lân cận V_0 của e trong G sao cho, với không lân cận V nào của e trong G, ta có VHV ⊂ HV_0H.)*