Exercice 25, § 4

Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G. On suppose que G/H est compact et qu’il existe un ensemble générateur compact E de G. Montrer qu’il existe un ensemble générateur compact de H. (On peut supposer que E est un voisinage compact symétrique de e dans G; en remarquant que G est réunion des E^n pour $n > 0$, montrer qu’il existe un entier m tel que G = H.E^m; si l’on pose E^m = C, montrer que la réunion de H ∩ C et de H ∩ CEC^{-1} est un ensemble générateur de H; on montrera d’abord que si K est le sous-groupe de G engendré par H ∩ CEC^{-1}, on a KC = G). (Cf. A, I, p. 125, exerc. 14).