Exercice 5, § 5

a) Soit $\sigma$ une permutation de $\mathbf{N}$, et soit $\varphi(n)$ le plus petit nombre d’intervalles de $\mathbf{N}$ dont la réunion soit $\sigma([0, n])$. Supposons que $\varphi(n)$ soit borné lorsque $n$ parcourt $\mathbf{N}$; alors, pour toute série convergente $(u_n)$ dont les termes appartiennent à un groupe commutatif séparé G, la série $(u_{\sigma(n)})$ est convergente et a même somme que $(u_n)$.

b) Supposons $\varphi(n)$ non borné dans $\mathbf{N}$. Former une série $(u_n)$ dont les termes appartiennent au groupe additif $\mathbf{R}$, qui converge dans $\mathbf{R}$ mais soit telle que la série $(u_{\sigma(n)})$ ne soit pas convergente. (Considérer une suite strictement croissante $(m_k)$ d’entiers, définie par récurrence sur $k$, de façon que les conditions suivantes soient remplies : 1° si $[0, n_k]$ est le plus grand intervalle de $\mathbf{N}$, d’origine 0, contenu dans $\sigma([0, m_k])$, $\sigma([0, m_k]) \subset [0, n_{k+1}]$; 2° $\varphi(m_k) \geq k + 1$. Définir ensuite de façon convenable $u_n$ pour $n_k < n \leq n_{k+1}$. Généraliser au cas où les $u_n$ appartiennent à un groupe commutatif séparé et complet G, engendré par un voisinage quelconque de 0.