Exercice 10, § 6

a) Soit B un anneau, E un B-module libre $B_d^{(I)}$, A l’anneau End(E) des endomorphismes de E. Pour tout sous-ensemble fini F de E, soit $V_F$ l’ensemble des $u \in A$ tels que $u(x) = 0$ pour tout $x \in F$. Montrer que les $V_F$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie séparée sur A, compatible avec la structure d’anneau de A, et pour laquelle A est totalement discontinu. b) On prend $I = \mathbf{N}$, et pour B un anneau commutatif sans diviseur de 0, mais dont le radical $\mathfrak{R}$ n’est pas réduit à $0$ (A, VIII, § 6, no 3). Montrer que le radical de $A$ n’est pas fermé. (Soit $(e_n)$ la base canonique de $E$. Remarquer d’une part que tout $u \in A$, tel que $u(e_n) = 0$ sauf pour un nombre fini d’indices et que $u(E) \subset \mathfrak{R}.E$, appartient au radical de $A$ (cf. A, VIII, § 6, exerc. 5); considérer d’autre part l’élément $u_0$ de tel que $u_0(e_n) = e_n + te_{n+1}$ avec $t \neq 0$ dans $\mathfrak{R}$, pour tout $n$).