Bài tập 10, § 6

a) Cho $B$ là một vành có phần tử đơn vị, cho $E$ là một $B$-môđun tự do $B_d^{(I)}$, và cho $A$ là vành $\mathscr{L}(E)$ của các tự đồng cấu của $E$. Với mọi tập con hữu hạn $F$ của $E$, cho $V_F$ là tập hợp tất cả các $u \in A$ sao cho $u(x) = 0$ với mọi $x \in F$. Chứng minh rằng các $V_F$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $0$ đối với một tôpô Hausdorff trên $A$, tương thích với cấu trúc vành của $A$, và theo tôpô đó $A$ là hoàn toàn không liên thông.

b) Lấy $I = \mathbf{N}$ và lấy $B$ là một vành giao hoán không có ước của không nhưng có căn $\mathfrak{R}$ không phải là $\{0\}$. Chứng minh rằng căn của $A$ không đóng. [Gọi $(e_n)$ là cơ sở chính tắc của $E$. Một mặt, nhận xét rằng mọi $u \in A$ sao cho $u(e_n) = 0$ với tất cả trừ một số hữu hạn các chỉ số và sao cho $u(E) \subset \mathfrak{R} \cdot E$, đều thuộc căn của $A$; mặt khác xét phần tử $u_0$ của $A$ sao cho $u_0(e_n) = e_n + te_{n+1}$ với $t \neq 0$ trong $\mathfrak{R}$, với mỗi $n$].